На сколько я понял, в теореме Гёделя, о которой недавно писал Ветер, идет речь о человеческой способности принимать допущения за истину. Например, мы делаем допущение, что математика это полная, самодостаточная наука и изучаем мир с ее помощью, можно сказать в математической системе. Но рано или поздно мы сталкиваемся с трудностями в виде противоречий и для дальнейшего исследования в этой системе нам придется принимать на веру очередные аксиомы. Пример, конечно, очень грубый и математики сейчас забросали бы меня калькуляторами, но рано или поздно кто-то спросил бы: «А что будет, если поделить на ноль?». Что будет, если поделить эту кружку на ноль? А низзя!

Читать дальше →

Теорема Гёделя о неполноте

Всякая система математических аксиом, начиная с определенного уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна.

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот,
Читать дальше →

В математике существует так называемая Теорема Геделя о неполноте. Попробую в двух словах объяснить ее суть.

Любое утверждение базируется на неких непроверяемых утверждениях, которые берутся за основу, и определенных правилах вывода. Исходя из базовых утверждений и правил вывода выводятся все существующие утверждения (не входящие в список базовых). Теорема говорит о том, что невозможно выбрать такую систему аксиом, из которых можно вывести все непротиворечивые утверждения. Либо список утверждений будет содержать противоречия, либо утверждение, доказывающее непротиворечивость этих утверждений, не выводится из этой системы аксиом.